På denna sida finns programmet för kursen: föreläsningar, räkneövningar, datorlaborationer och duggor. Övriga uppgifter, såsom t.ex. kursmål, lärare, kurslitteratur och examination, finns i ett separat kurs-PM.

Program

Kursens schema finns i TimeEdit.

Föreläsningar

På två av föreläsningarna nedan står det "Flipped classroom". Det betyder att ni förväntas titta på filmer innan föreläsningen, som sedan istället ägnas åt olika aktiva övningar. Filmerna läggs ut snart!

Dag	Avsnitt	Innehåll
20/1	1.2-1.4	Rummet R^n. Avstånd. Triangelolikheten. Cauchy-Schwartz olikhet. Öppna/slutna mängder. Begränsade mängder. Analytisk beskrivning av mängder. Funktioner av flera variabler.
22/1	1.4-1.5	Forts funktioner av flera variabler. Vektorvärda funktioner. Kurvor och ytor. Koordinatbyten. Gränsvärden.
27/1	1.6-2.2	Kontinuitet. Partiella derivator. Differentierbarhet. Flipped classroom - titta på filmer här!
29/1	2.3-2.4	Tangentplan. Kedjeregeln. Riktningsderivata.
3/2	2.5-2.7	Högre ordningens partiella derivator. Taylorutveckling och lokalt beteende hos en funktion. Kriterier för lokala extremvärden. Differentialer.
5/2	3.1-3.3	Tangenter till parametriserade kurvor. Normaler och tangentplan till parametriserade ytor. Funktionalmatriser (totala derivatan) och linjär approximation. Funktionaldeterminanter (Jacobianer).
10/2	3.4, 4.1-4.2	Implicita och inversa funktionssatserna. Hur man i samband ser att en variabel är en funktion av övriga. Optimering på kompakter. Optimering på icke-kompakter.
12/2	4.3, 6.1-6.3	Optimering med bivillkor. Dubbelintegraler och deras Riemannsummor.
17/2	6.3-6.5	Forts dubbelintegraler. Variabelsubstitution.
19/2	6.6-7.2	Generaliserade dubbelintegraler. Trippel- och multipelintegraler.
24/2	8.1-8.2, 8.4	Volymberäkningar och area av buktiga ytor, ytintegraler. Masscentrum och integralen som medelvärde.
26/2	9.1-9.3	Kurvintegraler i planet. Greens formel. OBS: Flipped classroom - titta på filmer här!
2/3	9.4-10.1	Potentialer och exakta differentialformer (konservativa vektorfält). Kurv- och ytintgraler.
4/3	10.2-10.3	Divergens och rotation av vektorfält. Gauss och Stokes satser.
9/3		Repetition/reserv
11/3		Gamla tentamensproblem.

 

Tillbaka till toppen

Rekommenderade övningsuppgifter

Dag	Uppgifter
21/1	1.1bcd, 1.2abd, 1.3, 1.4, 1.6–1.8, 1.9ab, 1.10, 1.11, 1.12, 1.14c, 1.16abc
24/1	1.18, 1.20, 1.21, 1.23, 1.24a–d, 1.25ab, 1.27abc
28/1	1.29bcd, 2.1, 2.2a, 2.4, 2.5, 2.6a, 2.7, 2.8ab
31/1	2.11, 2.12, 2.13, 2.14, 2.15, 2.18, 2.20, 2.21, 2.28ab, 2.30, 2.40, 2.42c, 2.43
4/2	2.50, 2.51, 2.56, 2.60, 2.62, 2.63, 2.64, 2.65a-d, 2.66, 2.68d, 2.70, 2.71bcd, 2.72a, 2.73
7/2	3.1, 3.2ab, 3.3, 3.6, 3.8, 3.9abc, 3.10abc, 3.12, 3.14, 3.16,
11/2	3.28, 3.30, 4.1, 4.2, 4.7, 4.10, 4.13, 4.14, 4.16, 4.18, 4.19. OBS: skriftlig dugga.
14/2	4.23, 4.24, 4.28, 4.33, 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.6, 6.10,
18/2	6.11, 6.13, 6.15, 6.18, 6.19, 6.20, 6.22, 6.26
21/2	6.33, 6.34, 6.37, 6.38, 7.1, 7.2, 7.4, 7.11, 7.16.
25/2	8.1, 8.2, 8.4, 8.11, 8.14, 8.15, 8.20, 8.28, 8.31.
28/2	9.1, 9.2, 9.4, 9.5, 9.7, 9.8, 9.10, 9.11, 9.18, 9.20, 9.21, 9.23. OBS: skriftlig dugga.
3/3	9.29, 9.33, 9.35, 9.36, 9.38, 10.1, 10.4, 10.7, 10.8, 10.9, 10.11.
6/3	10.16, 10.19, 10.20, 10.26, 10.52, 10.54, 10.57, 10.62
10/3	Repetition OBS: skriftlig dugga.
13/3	Repetition

 

Tillbaka till toppen

Datorlaborationer

I kursen ingår två obligatoriska datorlabbar. Tanken med labbarna är inte att programmera eller göra beräkningar. Vi gör labbarna i gratisprogrammet Geogebra, och fokus är på att använda programmet för att hjälpa oss att bättre förstå matematiska begrepp. Du behöver inte kunna Geogebra sedan innan.

För MMGF20: Datorlabbarna är ett nytt obligatoriskt moment i kursen som inte fanns med förra året. Programledningen tyckte att det var en bra idé att ni också fick göra de labbar som lärarstudenterna brukar göra. Du som gick en tidigare version av kursen och nu är omregistrerad behöver inte göra labbarna.

För LGMA50: Ni har två labbar i denna delkursen, och två labbar i den andra. Tillsammans bildar de ett eget Ladok-moment som ni måste få godkänt på för att kursen ska bli klar.

Laboration 1 handlar om att förstå parametrisering av kurvor och ytor. Det lättaste är om ni installerar Geogebra på datorn, det är gratis (eller sitt i en labbsal där programmet också finns.) Läs om de kommandon ni behöver här.

Laboration 2 handlar om att förstå vektorfält och hur olika kurvor ger positivt, negativt eller inget arbete.

Förbered er genom att börja göra labben i förväg - gör så långt ni kan själva tills ni stöter på problem och behöver fråga, vilket ni sedan kan göra i labbsalen (eller på en övning). Anledningen är att alla ska hinna redovisa i labsalen. Arbeta i grupper om två eller tre och redovisa muntligt vid labbtillfället. 

Tillbaka till toppen

Duggor

I år har bonussystemet för kursen ändrats. Tidigare har det varit tre elektroniska duggor, nu ska vi istället ha tre skriftliga salsduggor på en timme vardera. Fokus på salsduggorna kommer att vara på begreppsförståelse snarare än långa beräkningar. Varje dugga kan ge maximalt ett bonuspoäng till tentan. De är inte obligatoriska, och de går inte att ta igen om du missar en. Duggorna kommer att vara på räkneövningarna, på följande datum:

11/2 kl 13.15-14.15: kapitel 1-3.

28/2 kl 10.00-11.00: kapitel 4, 6, 8.

10/3 kl 13.15-14.15: kapitel 9 och 10.

Här är dugga 1a med lösning, och dugga 1b med lösning.

Här är en övningsdugga inför dugga 2, med lösningar.

Här är dugga 2a med lösning, och dugga 2b med lösning.

Här är en övningsdugga inför dugga 3, med lösningar.

Här är dugga 3a med lösning, och dugga 3b med lösning.

De elektroniska duggorna kommer dock fortfarande att vara öppna för de som vill använda dem som övning. De ligger under "Moduler".

Tillbaka till toppen

Sammanfattning av kursmoment

Kursens lärandemål finns angivna i kursplanen. Här gör jag en mer detaljerad sammanfattning av vad som ingår.

Följande avsnitt i boken ingår: 1.2-1.6, 2.1-2.7 (utom felanalys i 2.2, och "kompletterande teori" sist i 2.6), 3.1-3.4, 4.1-4.3, 6.1-6.4, 6.6 (men inte så stor tyngd på 6.3), 7.1-7.2 (men inte så stor tyngd på 7.2), 8.1-8.2, 8.4, 9.1-9.4, 10.1-10.3.

Du ska kunna använda de satser som ingår i avsnitten ovan. Du ska kunna bevisa följande satser:
Kapitel 2: Sats 1,2,5,6,7,11
Kapitel 9: Sats 2,4,5

Du ska också kunna definiera följande begrepp: nivåkurva/nivåyta, gränsvärde, kontinuitet, partiell derivata, riktningsderivata, differentierbarhet, gradient, differential, funktionalmatris, funktionaldeterminant, lokalt minimum/maximum, potential och potentialfält/konservativt fält.

Här är en sammanfattning av vad ni ska kunna (förutom satserna/definitionerna ovan):

Kapitel 1:
- rita upp mängder i $\mathbb{R}^n$ från deras analytiska beskrivning, och tvärtom
- växla mellan att se kurvor som nivåkurvor och parametriserade kurvor (och grafer om det går)
- växla mellan att se ytor som nivåytor och parametriserade ytor (och grafer om det går)
- rita upp nivåkurvor till en yta som ett verktyg för att förstå ytans utseende
- räkna ut gränsvärden, om de existerar, genom att använda 1) standardgränsvärden från envariabel, 2) instängningsregeln och 3) koordinatbyten
- visa att gränsvärden inte existerar genom att gå i gräns längs olika vägar
- avgöra om en funktion är kontinuerlig

Kapitel 2:
- derivera funktioner partiellt
- avgöra om funktioner är differentierbara eller inte
- räkna ut tangentplanet till en yta
- använda kedjeregeln i flera variabler
- räkna ut gradienter och riktningsderivator
- använda gradientens geometriska kopplingar till 1) nivåkurvor/nivåytor och 2) den riktning i vilken en funktion växer mest
- beräkna och använda partiella derivator av högre ordningar
- lösa vissa partiella differentialekvationer genom att reducera dem till envariabelfallet med hjälp av ett variabelbyte
- göra Taylorutvecklingar av andra ordningen av funktioner av flera variabler
- klassificera kvadratiska former
- hitta lokala extrempunkter till funktioner av flera variabler
- veta vad differentialer är och kunna använda dem

Kapitel 3:
- beräkna tangentvektor och tangentlinje till parametriserade kurvor
- beräkna tangentplan till parametriserade ytor
- beräkna funktionalmatriser och funktionaldeterminanter till vektorvärda funktioner
- se funktionaldeterminanter som linjäriseringar och funktionaldeterminanter som lokal areaförstoring
- använda kedjeregeln formulerad med hjälp av funktionalmatriser
- använda sambandet $\det((f^{-1})') = 1/\det(f')$
- använda implicita funktionssatsen för att se när en nivåkurva/nivåyta kan skrivas som en graf med avseende på olika variabler
- använda implicit derivering
- veta vad differentialer är och hur de hänger ihop med derivator

Kapitel 4:
- optimera på kompakta områden
- optimera på icke-kompakta områden
- optimera funktioner med ett bivillkor med hjälp av Lagranges multiplikatormetod

Kapitel 6:
- integrera dubbelintegraler genom att se dem som upprepade enkelintegraler
- byta variabel i dubbelintegraler
- räkna ut generaliserade dubbelintegraler med positiv integrand genom att skriva dem som upprepade (generaliserade) enkelintegraler
- avgöra genom uppskattningar om generaliserade dubbelintegraler med svårare integrand är konvergenta eller divergenta

Kapitel 7:
- räkna ut trippelintegraler
- byta variabel i trippelintegraler

Kapitel 8:
- räkna ut volymen av kroppar i $\mathbb{R}^3$
- räkna ut arean av ytor i $\mathbb{R}^3$
- räkna ut masscentrum av en kropp

Kapitel 9:
- beräkna arbetet som uträttas av ett vektorfält när en partikel förflyttas längs en kurva
- använda Greens formel
- beräkna flödet av ett vektorfält ut från ett område i planet
- avgöra om ett vektorfält är konservativt på ett område, och ta fram dess potential
- räkna ut kurvintegralen över ett konservativt vektorfält med hjälp av potentialen (sats 9.2)

Kapitel 10:
- räkna ut flödet av ett vektorfält ut genom en yta
- använda Gauss sats
- använda Stokes sats

Tillbaka till toppen